(10^n-1)^2的個位數字和

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(10ⁿ-1)²的各位數字和

觀察→發現規律→猜想→證明

一、已知n是自然數，則 $\underbrace{999\cdots9}_{ n 個 9 }{^2}$ 的各位數字和等於9n

9²= 81，8+1=9

99²=9801，9+8+0+1=18

999² = 998001，9+9+8+0+0+1=27

9999²= 99980001，9+9+9+8+0+0+0+1=36

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$\underbrace{999\cdots9}_{ n 個 9 }{^2}={(10^n-1)^2}={10^{2n}-2\times 10^n+1}={10^n(10^n-2)+1}$ =

$\underbrace{999\cdots9}_{ n-1 個 9 }{8\times 10^n+1}$ ，其各位數字和是 9(n-1)+8+1=9n，

所以，n是自然數， $\underbrace{999\cdots9}_{ n 個 9 }{^2}$ 的各位數字和等於9n。

二、已知n是自然數，則 $\underbrace{333\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}$ 的各位數字和等於9n

3²= 9

33²=1089，1+0+8+9=18

333²=110889，1+1+0+8+8+9=27

3333²=11108889，1+1+1+8+8+8+9=36

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$\underbrace{333\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}=\underbrace{111\cdots1}_{ n 個 1 }{^2}{\times 9}=$

$\underbrace{111\cdots1}_{ n 個 1 }\times\underbrace{999\cdots9}_{ n 個 9}=$

$\underbrace{111\cdots1}_{ n 個 1 }{\times(10^n-1)}=$

$\underbrace{111\cdots1}_{ n個 1 }{\times 10^n}-\underbrace{111\cdots1}_{ n個 1 }=$

$\underbrace{111\cdots10}_{ n-1個 1 }{\times 10^{n}+10^n}-\underbrace{111\cdots1}_{ n個 1 }=$

$\underbrace{111\cdots10}_{ n-1個 1 }{\times 10^n}+\underbrace{888\cdots8}_{ n-1個 8 }9$ ，其各位數字和是 (n-1)(1+8)+9=9n。

所以，n是自然數， $\underbrace{333\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}$ 的各位數字和等於9n。

三、若n是自然數且3≦n≦9，則(2n-1)位數12...(n-1)(n)(n-1)...21 乘以9，其乘積的各位數字和是9n

121×9 =1089，1+0+8+9=18

12321×9=110889，1+1+0+8+8+9=27

1234321×9=11108889，1+1+1+0+8+8+8+9=36

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12345678987654321×9=111111110888888889，各位數字和是9×9=81

若n是自然數且2≦n≦9，則(2n-1)位數12...(n-1)(n)(n-1)...21 ×9 $=\underbrace{111\cdots1}_{ n 個 1 }{^2\times 9}=$

$\underbrace{333\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}$ ，其各位數字和是9n。